Teorema dei Seni e Teorema del CosenoI due strumenti per risolvere qualsiasi triangolo

Risolvere un triangolo qualsiasi

"Risolvere un triangolo" significa trovare tutti i suoi lati e angoli a partire da alcuni dati. Per i triangoli qualunque (non solo quelli rettangoli) ci affidiamo a due teoremi: il teorema dei seni e il teorema del coseno.

L'idea di fondo:

Il teorema dei seni lega ogni lato al seno dell'angolo opposto; il teorema del coseno è una versione "allargata" del teorema di Pitagora, valida per qualsiasi angolo. Insieme bastano a risolvere ogni triangolo.

1. Il Teorema dei Seni

Descrizione: in ogni triangolo il rapporto fra un lato e il seno dell'angolo opposto è costante, e vale il diametro della circonferenza circoscritta.
  • a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
  • Ogni lato è proporzionale al seno dell'angolo opposto
  • R è il raggio della circonferenza circoscritta

2. Esempio con il Teorema dei Seni

Descrizione: noti un lato e due angoli, troviamo un secondo lato.
Dati: a = 10, α = 30°, β = 45° → trovare b
  1. a / sin α = b / sin β
  2. b = a · sin β / sin α = 10 · sin 45° / sin 30°
  3. b = 10 · (√2/2) / (1/2) = 10√2 ≈ 14,14

3. Il Teorema del Coseno

Descrizione: generalizza il teorema di Pitagora ai triangoli qualunque, aggiungendo un termine correttivo con il coseno.
Formula: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Se γ = 90° allora cos γ = 0 e si ritrova il teorema di Pitagora: c² = a² + b².

4. Esempio con il Teorema del Coseno

Descrizione: noti due lati e l'angolo compreso, troviamo il terzo lato.
Dati: a = 5, b = 8, γ = 60° → trovare c
  1. c² = a² + b² − 2ab · cos γ
  2. c² = 25 + 64 − 2 · 5 · 8 · cos 60°
  3. c² = 89 − 80 · ½ = 49 → c = 7

5. Quale Teorema Usare?

Descrizione: la scelta dipende da quali dati conosciamo.
Regola pratica:
  • Teorema dei seni: un lato e l'angolo opposto, più un altro angolo o lato (ALA, AAL, SSA)
  • Teorema del coseno: due lati e l'angolo compreso, oppure tutti e tre i lati (SAS, SSS)

Riepilogo

I due teoremi per risolvere i triangoli qualunque:

  1. Teorema dei seni: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R
  2. Teorema del coseno: c² = a² + b² − 2ab cos γ
  3. Pitagora generalizzato: per γ = 90° il coseno si annulla
  4. Scelta: dipende dai dati noti (angolo opposto → seni; angolo compreso → coseno)

Con questi strumenti possiamo affrontare la risoluzione completa dei triangoli, l'ultima tappa del percorso di trigonometria.

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