Descrizione: Questa animazione introduce il concetto di sistema di equazioni lineari. Scoprirai cos'è un sistema, come riconoscerlo e una panoramica dei quattro metodi principali di risoluzione.

Un sistema è un insieme di equazioni che devono essere soddisfatte contemporaneamente. La soluzione è la coppia di valori (x, y) che rende vere tutte le equazioni del sistema.

Descrizione: Il metodo di sostituzione è uno dei metodi più intuitivi per risolvere sistemi lineari. Sistema:

In questo esempio, y è già isolata nella prima equazione, quindi possiamo sostituirla direttamente nella seconda. Questo rende la risoluzione particolarmente semplice.

Soluzione: x = 2, y = 3

Sistema:

In questo esempio, nessuna variabile è già isolata. L'animazione mostra come isolare x dalla seconda equazione e sostituirlo nella prima.

Soluzione: x = 3, y = 1

Descrizione: Il metodo del confronto è particolarmente utile quando si può facilmente isolare la stessa variabile in entrambe le equazioni. Sistema:

Questo è un caso ideale per il metodo del confronto: y è già isolata in entrambe le equazioni! Basta uguagliare le due espressioni: 3x - 2 = x + 4.

Soluzione: x = 3, y = 7

Sistema:

In questo esempio, isoliamo y da entrambe le equazioni ottenendo y = 8 - 2x e y = 5 - x, poi le uguagliamo.

Soluzione: x = 3, y = 2

Descrizione: Il metodo di riduzione (o eliminazione) è spesso il più efficiente. Si basa sull'idea di eliminare una variabile sommando o sottraendo le equazioni.

Nota: Questo metodo è anche chiamato metodo di eliminazione perché elimina una variabile dal sistema.

Sistema:

Caso fortunato! I coefficienti di y sono già opposti (+1 e -1). Sommando le due equazioni, y si elimina automaticamente: (2x + y) + (3x - y) = 7 + 8 che diventa 5x = 15.

Soluzione: x = 3, y = 1

Sistema:

In questo caso, i coefficienti non sono opposti. L'animazione mostra come moltiplicare la seconda equazione per -2 per rendere i coefficienti di y opposti (+2 e -2), poi sommare per eliminare y.

Soluzione: x = 2, y = 3

Descrizione: Il metodo di Cramer usa i determinanti per risolvere sistemi lineari. È un metodo elegante e sistematico, particolarmente utile per sistemi più grandi.

Per un sistema { ax + by = e, cx + dy = f }, si calcolano:

Poi: x = Δₓ / Δ e y = Δᵧ / Δ

Importante: Il metodo funziona solo se Δ ≠ 0. Se Δ = 0, il sistema non ha soluzione unica (infinite soluzioni o nessuna soluzione).

Sistema dell'esempio:

L'animazione mostra passo-passo come calcolare i determinanti:

• Δ = (2)(−1) − (3)(1) = −2 − 3 = −5
• Δₓ = (8)(−1) − (3)(1) = −8 − 3 = −11 → x = −11/−5 = 11/5
• Δᵧ = (2)(1) − (8)(1) = 2 − 8 = −6 → y = −6/−5 = 6/5

Soluzione: x = 11/5, y = 6/5