Seno, Coseno e Tangente

Dalle misure degli angoli alle funzioni

Dopo aver imparato a misurare gli angoli in radianti, possiamo finalmente definire le tre funzioni goniometriche fondamentali: seno, coseno e tangente. La chiave di tutto è un'unica figura: la circonferenza goniometrica, cioè la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine.

L'idea di fondo:

Preso un angolo α, individuiamo il punto P sulla circonferenza unitaria. Allora il coseno è l'ascissa di P e il seno è l'ordinata di P. In formula: P = (cos α, sin α). La tangente è invece il loro rapporto, tan α = sin α/cos α.

1. Seno e Coseno sulla Circonferenza

Descrizione: sulla circonferenza unitaria fissiamo il punto P corrispondente all'angolo α. Proiettando P sui due assi si leggono direttamente coseno e seno.

Coseno: la proiezione di P sull'asse x (l'ascissa)
Seno: la proiezione di P sull'asse y (l'ordinata)
Quindi P = (cos α, sin α)

2. Al Variare dell'Angolo

Descrizione: facciamo compiere a P un giro completo. Mentre l'angolo cresce, le due proiezioni si allungano e si accorciano, e i loro valori numerici oscillano con continuità.

Limitazione fondamentale: poiché il raggio vale 1, seno e coseno non possono mai uscire dall'intervallo [−1, 1]: −1 ≤ sin α, cos α ≤ 1. Il segno dipende dal quadrante in cui cade il punto P.

3. La Tangente

Descrizione: la tangente si definisce come rapporto fra seno e coseno e si legge geometricamente come segmento sulla retta verticale tangente alla circonferenza (la retta x = 1).

Definizione:

Come rapporto: tan α = sin α / cos α
Significato geometrico: il prolungamento del raggio incontra la retta x = 1 a un'altezza pari a tan α

Attenzione: la tangente non esiste quando cos α = 0, cioè per α = 90° (π/2), 270° (3π/2), e in generale 90° + k·180°.

4. La Relazione Fondamentale

Descrizione: il raggio, il coseno e il seno formano un triangolo rettangolo con ipotenusa 1. Applicando il teorema di Pitagora si ottiene la più importante identità della goniometria.

Dal teorema di Pitagora:

I cateti sono cos α e sin α, l'ipotenusa è 1
Quindi cos²α + sin²α = 1

Vale per ogni angolo α: è la relazione fondamentale della goniometria e permette di ricavare il seno dal coseno (e viceversa), a meno del segno.

5. I Valori Notevoli

Descrizione: alcuni angoli ricorrono di continuo negli esercizi. Conviene memorizzare i valori di seno, coseno e tangente per 0°, 30°, 45°, 60° e 90°.

Tabella da ricordare:

0°: sin = 0, cos = 1, tan = 0
30°: sin = 1/2, cos = √3/2, tan = √3/3
45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tan = 1
60°: sin = √3/2, cos = 1/2, tan = √3
90°: sin = 1, cos = 0, tan non esiste

Riepilogo

Le funzioni goniometriche nascono tutte dalla circonferenza unitaria:

Seno e coseno: ordinata e ascissa del punto P = (cos α, sin α)
Variazione: oscillano con continuità nell'intervallo [−1, 1]
Tangente: tan α = sin α/cos α, non definita dove cos α = 0
Relazione fondamentale: cos²α + sin²α = 1, valida per ogni angolo
Valori notevoli: da memorizzare per 0°, 30°, 45°, 60°, 90°

Con seno, coseno e tangente in mano, la prossima tappa sarà studiare i loro grafici e le formule goniometriche (addizione, duplicazione, bisezione).