Trigonometria: Risoluzione dei Triangoli

Tutto insieme

È il momento di mettere insieme tutto il percorso di trigonometria. Risolvere un triangolo significa determinare i suoi sei elementi — i tre lati e i tre angoli — a partire da pochi dati noti, scegliendo di volta in volta il teorema giusto.

L'idea di fondo:

Si combinano somma degli angoli (α + β + γ = 180°), teorema dei seni e teorema del coseno. Il caso dei dati noti decide da dove partire.

1. Che cosa Significa

Descrizione: i sei elementi di un triangolo e i quattro casi tipici di risoluzione.

Due angoli e un lato → teorema dei seni
Due lati e l'angolo compreso → teorema del coseno
Due lati e un angolo opposto → teorema dei seni
Tre lati → teorema del coseno

2. Caso: Due Angoli e un Lato

Descrizione: noti due angoli si trova subito il terzo, poi si usa il teorema dei seni per i lati.

Dati: c = 14, α = 30°, β = 105°

γ = 180° − 30° − 105° = 45°
a = c · sin α / sin γ = 14 · sin 30° / sin 45°
a = 7√2 ≈ 9,9 (e b si trova allo stesso modo)

3. Caso: Due Lati e l'Angolo Compreso

Descrizione: il teorema del coseno dà il terzo lato; poi il teorema dei seni fornisce gli angoli.

Dati: a = 8, b = 5, γ = 60°

c² = 64 + 25 − 80 · ½ = 49 → c = 7
sin α = a · sin γ / c ≈ 0,99 → α ≈ 81,8°
β ≈ 38,2° (per differenza da 180°)

4. Caso: Tre Lati

Descrizione: con i tre lati si ricava un angolo dal teorema del coseno, poi gli altri.

Dati: a = 7, b = 8, c = 13

cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab) = −56 / 112 = −½
γ = 120°
Gli altri angoli con il teorema dei seni e la somma a 180°

5. Un Problema Reale

Descrizione: la trigonometria misura distanze inaccessibili. Per sapere quanto distano due punti A e B separati da un lago, ci si pone in un punto C da cui si vedono entrambi.

Dati: CA = 80 m, CB = 100 m, angolo in C = 60°

AB² = 80² + 100² − 2 · 80 · 100 · cos 60°
AB² = 16400 − 8000 = 8400
AB = √8400 ≈ 91,7 m

Con due lati e l'angolo compreso, il teorema del coseno misura una distanza che non potremmo percorrere direttamente: è la triangolazione, alla base di topografia, navigazione e GPS.

Riepilogo

Per risolvere qualsiasi triangolo:

Somma degli angoli: α + β + γ = 180°
Teorema dei seni: quando è noto un lato con l'angolo opposto
Teorema del coseno: con due lati e l'angolo compreso, o con tre lati
Applicazioni reali: la triangolazione per misurare distanze inaccessibili

Con questa lezione si chiude il percorso di goniometria e trigonometria: dalla misura degli angoli in radianti fino alla risoluzione completa dei triangoli.