Grafici delle Funzioni GoniometricheDedurre i grafici di seno, coseno e tangente dalla circonferenza

Dalla circonferenza al grafico

Una volta definiti seno, coseno e tangente sulla circonferenza unitaria, possiamo dedurne i grafici: basta riportare, per ogni angolo, il valore della funzione su un piano cartesiano in cui l'asse orizzontale rappresenta l'angolo x (in radianti) e quello verticale il valore della funzione.

L'idea di fondo:

Mentre il punto P percorre la circonferenza, la sua ordinata disegna l'onda del seno e la sua ascissa quella del coseno. Sono curve periodiche: si ripetono identiche ogni 2π (ogni π per la tangente).

1. Il Grafico del Seno

Descrizione: il punto compie un giro sulla circonferenza e la sua altezza (il seno) viene riportata sul grafico, tracciando la classica onda sinusoidale.
  • Parte da 0, sale al massimo +1 in π/2
  • Torna a 0 in π, scende al minimo −1 in 3π/2
  • Si richiude a 0 in 2π: un periodo completo

2. Il Grafico del Coseno

Descrizione: il coseno ha esattamente la stessa forma del seno, ma è anticipato di π/2. Confrontando le due curve si vede subito lo sfasamento.
Relazione: cos x = sin(x + π/2). La curva del coseno parte dal massimo +1 (in x = 0) invece che da 0.

3. Il Grafico della Tangente

Descrizione: la tangente ha un andamento diverso: cresce senza limite e presenta degli asintoti verticali dove non è definita.
Caratteristiche:
  1. Asintoti dove cos x = 0, cioè in x = π/2 + kπ
  2. Periodo π (la metà di seno e coseno)
  3. Il codominio è tutto ℜ: assume qualsiasi valore

4. Periodicità e Simmetrie

Descrizione: due proprietà rendono i grafici facili da prevedere: la periodicità (si ripetono) e le simmetrie (parità).
Da ricordare:
  1. Periodicità: sin e cos hanno periodo 2π, la tangente periodo π
  2. Coseno pari: cos(−x) = cos x (simmetrico rispetto all'asse y)
  3. Seno dispari: sin(−x) = −sin x (simmetrico rispetto all'origine)

5. Caratteristiche a Confronto

Descrizione: una tabella riassume dominio, codominio e periodo delle tre funzioni, utile come scheda di ripasso.
In sintesi:
  • sin x: dominio ℜ, codominio [−1, 1], periodo 2π
  • cos x: dominio ℜ, codominio [−1, 1], periodo 2π
  • tan x: dominio x ≠ π/2 + kπ, codominio ℜ, periodo π

Riepilogo

I grafici goniometrici si deducono tutti dalla circonferenza unitaria:

  1. Seno: onda che parte da 0, oscilla tra −1 e 1 con periodo 2π
  2. Coseno: stessa onda anticipata di π/2, parte dal massimo
  3. Tangente: periodo π, asintoti dove cos x = 0, codominio ℜ
  4. Periodicità e simmetrie: coseno pari, seno dispari

Con i grafici ben chiari, la prossima tappa saranno le formule goniometriche — addizione, sottrazione, duplicazione e bisezione.

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