Formule di Duplicazione e BisezioneDall'angolo doppio all'angolo metà, a partire dalle formule di addizione

Angolo doppio e angolo metà

Le formule di duplicazione esprimono seno, coseno e tangente di un angolo doppio (2α) tramite le funzioni di α. Le formule di bisezione fanno il percorso inverso: dall'angolo α all'angolo metà (α/2). Non sono formule nuove da memorizzare a forza: discendono direttamente da quelle di addizione.

L'idea di fondo:

Basta porre β = α nelle formule di addizione per ottenere la duplicazione; e usare le forme di cos 2α "al contrario" per ottenere la bisezione. Un'unica radice comune per tutte e due.

1. Dalle Formule di Addizione

Descrizione: ponendo β = α nelle formule di addizione, i due addendi diventano uguali e otteniamo subito la duplicazione.
  • sin(α+α) = sin αcos α + cos αsin α → sin 2α = 2 sin α cos α
  • cos(α+α) = cos αcos α − sin αsin α → cos 2α = cos²α − sin²α

2. Le Formule di Duplicazione

Descrizione: il quadro completo. Il coseno ha tre forme equivalenti, utilissime a seconda di cosa è noto.
Formule:
  1. sin 2α = 2 sin α cos α
  2. cos 2α = cos²α − sin²α = 2cos²α − 1 = 1 − 2sin²α
  3. tan 2α = 2 tan α / (1 − tan²α)
Le tre forme del coseno si passano l'una nell'altra usando la relazione fondamentale sin²α + cos²α = 1.

3. Esempio di Duplicazione

Descrizione: dato sin α = 3/5 (con α acuto), troviamo seno e coseno dell'angolo doppio.
Calcolo:
  1. cos α = √(1 − 9/25) = 4/5
  2. sin 2α = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25
  3. cos 2α = 1 − 2 · (9/25) = 7/25

4. Le Formule di Bisezione

Descrizione: ricavate dalle forme di cos 2α, esprimono le funzioni dell'angolo metà.
Formule:
  1. sin(α/2) = ±√((1 − cos α) / 2)
  2. cos(α/2) = ±√((1 + cos α) / 2)
  3. tan(α/2) = ±√((1 − cos α) / (1 + cos α)) = (1 − cos α) / sin α
Attenzione al segno: il ± si scioglie guardando in quale quadrante cade l'angolo α/2.

5. Esempio di Bisezione

Descrizione: calcoliamo cos 15° vedendolo come la metà di 30°, angolo notevole.
Calcolo di cos 15°:
  1. 15° = 30° / 2
  2. cos 15° = √((1 + cos 30°) / 2) = √((2 + √3) / 4)
  3. = √(2 + √3) / 2 ≈ 0,966
Segno + perché 15° è nel primo quadrante.

Riepilogo

Duplicazione e bisezione discendono entrambe dalle formule di addizione:

  1. Duplicazione: si ottiene ponendo β = α
  2. sin 2α = 2 sin α cos α
  3. cos 2α ha tre forme equivalenti (con sin²+cos²=1)
  4. Bisezione: formule con la radice e il doppio segno ±
  5. Il segno dell'angolo metà si decide dal quadrante

Con tutte le formule goniometriche a disposizione, le prossime tappe saranno le equazioni e le disequazioni goniometriche.

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