Formule di Addizione e SottrazioneSeno, coseno e tangente della somma e della differenza di due angoli

Combinare due angoli

Spesso serve calcolare il seno o il coseno di una somma o di una differenza di angoli, oppure ricavare valori di angoli non notevoli (come 75°) a partire da quelli che conosciamo. Per farlo servono le formule di addizione e sottrazione.

L'idea di fondo:

Le funzioni goniometriche non sono lineari: cos(α + β) non è cos α + cos β. Il valore di un angolo composto si esprime invece tramite prodotti di seni e coseni degli angoli di partenza.

1. L'Errore da Evitare

Descrizione: l'errore più comune è "distribuire" la funzione sulla somma. Un controesempio numerico lo smonta subito.
  • cos(60° + 30°) = cos 90° = 0
  • cos 60° + cos 30° = 1/2 + √3/2 ≈ 1,37
  • 0 ≠ 1,37: la funzione non si distribuisce sulla somma

2. Coseno di Somma e Differenza

Descrizione: le due formule del coseno, con la regola del segno.
Formule:
  1. cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
  2. cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
Regola del segno: nel coseno il segno si inverte — la somma porta il meno, la differenza il più.

3. Seno di Somma e Differenza

Descrizione: le due formule del seno, con un comportamento opposto a quello del coseno.
Formule:
  1. sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
  2. sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
Regola del segno: nel seno il segno si conserva — la somma porta il più, la differenza il meno.

4. Tangente di Somma e Differenza

Descrizione: le formule della tangente si ricavano dal rapporto seno/coseno e hanno una struttura a frazione.
Formule:
  1. tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 − tan α tan β)
  2. tan(α − β) = (tan α − tan β) / (1 + tan α tan β)
Attenzione ai segni: numeratore e denominatore hanno segni opposti.

5. Un Esempio Concreto

Descrizione: usiamo la formula del coseno per calcolare un angolo non notevole, scomponendolo nella somma di due angoli notevoli.
Calcolo di cos 75°:
  1. 75° = 45° + 30°
  2. cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30°
  3. = (√2/2)(√3/2) − (√2/2)(1/2)
  4. = (√6 − √2) / 4

Riepilogo

Le formule di addizione e sottrazione permettono di scomporre angoli composti:

  1. Non linearità: cos(α + β) ≠ cos α + cos β
  2. Coseno: cos α cos β ∓ sin α sin β (il segno si inverte)
  3. Seno: sin α cos β ± cos α sin β (il segno si conserva)
  4. Tangente: frazione con segni opposti tra numeratore e denominatore
  5. Applicazione: calcolare angoli non notevoli come 75°

Da queste formule discendono direttamente quelle di duplicazione (ponendo β = α) e di bisezione, le prossime tappe.

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