Equazioni Logaritmiche

Che cos'è un'equazione logaritmica?

Un'equazione logaritmica è un'equazione in cui l'incognita compare nell'argomento di uno o più logaritmi. Risolverla significa "liberare" l'incognita dal logaritmo, sfruttando la definizione e le proprietà viste nella lezione sui logaritmi.

Prima regola, sempre: le condizioni di esistenza (C.E.).

Poiché l'argomento di un logaritmo deve essere positivo, prima di risolvere si impone che ogni argomento sia > 0. Alla fine si scartano le soluzioni che non rispettano le C.E.: è l'errore più comune da evitare!

1. Il Caso Elementare

Descrizione: Quando l'equazione ha la forma log_a x = b, basta applicare la definizione di logaritmo per trovare subito l'incognita.

Risolvere log₂ x = 3:

Applico la definizione: x = 2³
Calcolo: x = 8
Verifica C.E.: 8 > 0 → soluzione accettabile

log_a x = b ⟹ x = a^b

2. Il Metodo del Confronto

Descrizione: Se l'equazione ha un logaritmo per membro con la stessa base, i logaritmi si possono "togliere" confrontando direttamente gli argomenti:

log_a f(x) = log_a g(x) ⟹ f(x) = g(x)

Risolvere log₂(x+1) = log₂(2x−3):

C.E.: x+1 > 0 e 2x−3 > 0 ⟹ x > 3/2
Confronto gli argomenti: x+1 = 2x−3
Risolvo: x = 4
Verifica C.E.: 4 > 3/2 → accettabile

3. Con le Proprietà dei Logaritmi

Descrizione: Quando compaiono più logaritmi, si usano le proprietà per ridurli a uno solo, poi si applica la definizione. È il caso in cui la verifica delle C.E. è davvero decisiva.

Risolvere log₂ x + log₂(x−2) = 3:

C.E.: x > 0 e x−2 > 0 ⟹ x > 2
Proprietà del prodotto: log₂[x(x−2)] = 3
Definizione: x(x−2) = 2³ = 8
Equazione di 2° grado: x² − 2x − 8 = 0 ⟹ x = 4 ∨ x = −2
Scarto x = −2 (non rispetta x > 2): resta x = 4

Attenzione: senza le condizioni di esistenza si rischia di accettare x = −2, che però rende negativo l'argomento di un logaritmo. Sempre verificare!

4. La Variabile Ausiliaria

Descrizione: Se lo stesso logaritmo compare al quadrato e al primo grado, una sostituzione trasforma l'equazione in una più semplice di secondo grado.

Risolvere (log x)² − log x − 2 = 0 (base 10):

C.E.: x > 0
Sostituisco t = log x: t² − t − 2 = 0
Risolvo in t: t = 2 ∨ t = −1
Torno all'incognita: log x = 2 ∨ log x = −1
Definizione (base 10): x = 100 ∨ x = 1/10
Verifica C.E.: entrambe positive → entrambe accettabili

Nota: a differenza delle equazioni esponenziali, qui la variabile ausiliaria t = log x può essere anche negativa (il logaritmo può valere meno di zero): nessuna soluzione in t va scartata a priori.

Riepilogo

Per risolvere un'equazione logaritmica conviene seguire sempre lo stesso schema:

Condizioni di esistenza: imporre che ogni argomento sia positivo
Ridurre i logaritmi con le proprietà fino a un'unica struttura risolvibile
Eliminare il logaritmo con la definizione o il confronto tra argomenti
Risolvere l'equazione algebrica ottenuta (1° o 2° grado, o per sostituzione)
Verificare le soluzioni con le C.E. e scartare quelle non accettabili

Lo stesso ragionamento, con il verso delle disuguaglianze e la monotonia del logaritmo, sarà la chiave per le disequazioni logaritmiche, la prossima tappa.