Equazioni Goniometriche

Infinite soluzioni, un solo schema

Un'equazione goniometrica è un'equazione in cui l'incognita compare come argomento di una funzione goniometrica. Poiché seno, coseno e tangente sono periodici, queste equazioni hanno (in genere) infinite soluzioni: si trovano gli angoli "base" sulla circonferenza e poi si aggiunge il periodo.

L'idea di fondo:

Si parte sempre dalle equazioni elementari (sin x = k, cos x = k, tan x = k). Tutte le altre si riconducono a queste, spesso con una sostituzione o usando le formule goniometriche.

1. Equazione con il Seno

Descrizione: la retta orizzontale sin x = 1/2 incontra la circonferenza in due punti, che danno due famiglie di soluzioni.

x = π/6 + 2kπ
x = 5π/6 + 2kπ
con k ∈ ℤ (si aggiunge un giro intero ogni volta)

2. Equazione con il Coseno

Descrizione: la retta verticale cos x = 1/2 dà due punti simmetrici rispetto all'asse x, da cui la comoda forma con il ±.

Soluzione: x = ±π/3 + 2kπ, con k ∈ ℤ. Il coseno è una funzione pari, perciò le due soluzioni sono opposte.

3. Equazione con la Tangente

Descrizione: per la tangente i due punti sono diametralmente opposti (distano π), quindi basta una sola famiglia con periodo π.

Soluzione: x = π/4 + kπ, con k ∈ ℤ. Il periodo della tangente è π, non 2π.

4. Equazione Riconducibile

Descrizione: un'equazione di secondo grado in sin x si risolve con una sostituzione, riportandola a equazioni elementari.

2 sin²x − sin x − 1 = 0:

Pongo t = sin x: 2t² − t − 1 = 0
(2t + 1)(t − 1) = 0 → t = −1/2 oppure t = 1
sin x = 1 → x = π/2 + 2kπ
sin x = −1/2 → x = 7π/6 + 2kπ ∨ x = 11π/6 + 2kπ

5. Schema Riassuntivo

Descrizione: una tabella raccoglie le tre equazioni elementari con le rispettive soluzioni generali.

Le tre formule base (con α = arcsin k, arccos k, arctan k):

sin x = k → x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ
cos x = k → x = ±α + 2kπ
tan x = k → x = α + kπ

Riepilogo

Per risolvere un'equazione goniometrica:

Riconducila a una o più equazioni elementari
Trova gli angoli base sulla circonferenza
Aggiungi il periodo: 2kπ per seno e coseno, kπ per la tangente
Sostituzione: utile quando compare la stessa funzione elevata a potenza

Una volta padroneggiate le equazioni, il passo successivo sono le disequazioni goniometriche, dove conta anche il verso della disuguaglianza.