Disequazioni Logaritmiche

Che cos'è una disequazione logaritmica?

Una disequazione logaritmica contiene l'incognita nell'argomento di un logaritmo, ma al posto dell'uguale c'è una disuguaglianza. Rispetto alle equazioni cambia una cosa fondamentale: bisogna tenere conto della monotonia del logaritmo.

La regola che decide tutto:

Se la base è maggiore di 1, il logaritmo è crescente: la disuguaglianza mantiene il verso.
Se la base è compresa tra 0 e 1, il logaritmo è decrescente: la disuguaglianza inverte il verso.

E come sempre, prima di tutto le condizioni di esistenza (argomenti > 0).

1. La Monotonia del Logaritmo

Descrizione: I grafici di log₂ x e log_1/2 x mostrano i due comportamenti opposti del logaritmo, da cui dipende il verso della disequazione.

base > 1 (crescente): log_a f(x) > log_a g(x) ⟺ f(x) > g(x)
0 < base < 1 (decrescente): log_a f(x) > log_a g(x) ⟺ f(x) < g(x)

Nel secondo caso il verso si inverte: è l'errore più frequente, da tenere sempre presente.

2. Base Maggiore di 1

Descrizione: Con base > 1 il verso si conserva: dopo aver imposto le condizioni di esistenza, si confrontano direttamente gli argomenti.

Risolvere log₂(2x−1) > log₂(x+3):

C.E.: 2x−1 > 0 e x+3 > 0 ⟹ x > 1/2
Base 2 > 1, stesso verso: 2x−1 > x+3
Risolvo: x > 4
Interseco con le C.E.: x > 4 (già contenuto in x > 1/2)

3. Base tra 0 e 1

Descrizione: Stessa disequazione di prima, ma con base 1/2: poiché il logaritmo è decrescente, passando agli argomenti il verso si inverte.

Risolvere log_1/2(2x−1) > log_1/2(x+3):

C.E.: x > 1/2 (come prima)
Base 1/2 < 1, verso invertito: 2x−1 < x+3
Risolvo: x < 4
Interseco con le C.E.: 1/2 < x < 4

Confronto: stessi numeri, stesso segno di partenza, ma soluzioni diverse — x > 4 con base 2, un intervallo limitato 1/2 < x < 4 con base 1/2. È tutto merito (o colpa) della base!

4. Un Esempio Completo

Descrizione: Quando compaiono più logaritmi si usano le proprietà, esattamente come nelle equazioni, e si arriva a una disequazione algebrica (qui di secondo grado).

Risolvere log₂ x + log₂(x−2) < 3:

C.E.: x > 0 e x−2 > 0 ⟹ x > 2
Proprietà del prodotto: log₂[x(x−2)] < 3
Base 2 > 1, definizione: x(x−2) < 2³ = 8
Disequazione di 2° grado: x² − 2x − 8 < 0 ⟹ −2 < x < 4
Interseco con le C.E. (x > 2): 2 < x < 4

Il ruolo delle C.E.: la disequazione algebrica darebbe −2 < x < 4, ma le condizioni di esistenza tagliano via la parte x ≤ 2. La soluzione corretta è solo 2 < x < 4.

Riepilogo

Lo schema per una disequazione logaritmica ricalca quello delle equazioni, con un passaggio in più:

Condizioni di esistenza: ogni argomento dei logaritmi deve essere positivo
Ridurre a un solo logaritmo per membro con le proprietà
Guardare la base: verso invariato se > 1, verso invertito se tra 0 e 1
Risolvere la disequazione algebrica ottenuta
Intersecare con le condizioni di esistenza per la soluzione finale

Con equazioni e disequazioni logaritmiche si chiude il capitolo su esponenziali e logaritmi: la prossima tappa del percorso sarà la goniometria.