Disequazioni Goniometriche

Non un punto, ma un arco

Mentre un'equazione goniometrica ha come soluzioni dei singoli angoli, una disequazione è soddisfatta da interi archi di circonferenza. Il procedimento parte sempre dall'equazione associata, ma poi bisogna capire quale arco prendere.

L'idea di fondo:

Si trovano gli angoli di confine (risolvendo l'equazione associata), si segnano sulla circonferenza e si legge l'arco dove la disuguaglianza è vera: il verso del segno indica quale arco scegliere.

1. Come si Risolvono

Descrizione: il metodo in quattro passi, valido per tutte le disequazioni goniometriche.

Risolvo l'equazione associata (angoli di confine)
Segno gli archi sulla circonferenza
Leggo dove vale la disuguaglianza
Aggiungo il periodo

2. Disequazione con il Seno

Descrizione: per sin x > 1/2 prendiamo l'arco dove l'altezza del punto (l'ordinata) supera 1/2, compreso fra i due angoli di confine.

Soluzione: π/6 + 2kπ < x < 5π/6 + 2kπ. Gli estremi sono esclusi (disuguaglianza stretta).

3. Disequazione con il Coseno

Descrizione: per cos x < 1/2 prendiamo l'arco dove l'ascissa è minore di 1/2, cioè la parte sinistra della circonferenza.

Soluzione: π/3 + 2kπ < x < 5π/3 + 2kπ. Qui l'arco attraversa π (il lato sinistro), non lo "zero".

4. Disequazione con la Tangente

Descrizione: per tan x > 1 l'arco va dall'angolo di confine fino all'asintoto (dove la tangente "esplode"), e si ripete con periodo π.

Soluzione: π/4 + kπ < x < π/2 + kπ. Attenzione: il valore π/2 + kπ è escluso perché lì la tangente non esiste.

5. Disequazione Riconducibile

Descrizione: una disequazione di secondo grado si risolve con la sostituzione e lo studio del segno, poi si torna alla funzione goniometrica.

2 sin²x − sin x − 1 ≥ 0:

t = sin x: (2t + 1)(t − 1) ≥ 0
parabola verso l'alto, ≥ 0 all'esterno: t ≤ −1/2 ∨ t ≥ 1
sin x ≥ 1 → x = π/2 + 2kπ
sin x ≤ −1/2 → 7π/6 + 2kπ ≤ x ≤ 11π/6 + 2kπ

Riepilogo

Per risolvere una disequazione goniometrica:

Equazione associata: trova gli angoli di confine
Archi sulla circonferenza: il verso del segno dice quale prendere
Estremi: inclusi con ≤/≥, esclusi con </> (e sempre esclusi gli asintoti della tangente)
Periodo: 2kπ per seno e coseno, kπ per la tangente
Riconducibili: sostituzione + studio del segno

Con equazioni e disequazioni si chiude la parte goniometrica. Le prossime tappe portano alla trigonometria: il teorema dei seni, quello del coseno e la risoluzione dei triangoli.