Area del Triangolo e Teorema della CordaDue formule trigonometriche con il seno, dai triangoli alla circonferenza

La trigonometria entra in scena

Con seno, coseno e tangente possiamo finalmente collegare angoli e lunghezze. Due risultati classici aprono la trigonometria: la formula dell'area di un triangolo a partire da due lati e dall'angolo compreso, e il teorema della corda, che lega una corda al raggio della circonferenza.

L'idea di fondo:

In entrambe le formule compare il seno di un angolo: è il seno a trasformare le informazioni sugli angoli in misure di lunghezze e aree.

1. L'Area del Triangolo

Descrizione: partendo dalla formula base×altezza/2, l'altezza si esprime con il seno dell'angolo compreso, ottenendo una formula molto comoda.
  • L'altezza vale h = a sin γ
  • Quindi A = ½ · a · b · sin γ
  • Bastano due lati e l'angolo compreso fra loro

2. Esempio sull'Area

Descrizione: con a = 6, b = 8 e γ = 30° il calcolo è immediato.
Calcolo:
  1. A = ½ · 6 · 8 · sin 30°
  2. A = 24 · ½
  3. A = 12

3. Il Teorema della Corda

Descrizione: in una circonferenza, una corda è uguale al diametro moltiplicato per il seno di uno qualunque degli angoli alla circonferenza che insistono su di essa.
Formula: AB = 2R · sin γ. Tutti gli angoli alla circonferenza che "vedono" la stessa corda sono uguali, quindi la formula non dipende da quale punto P si sceglie sull'arco.

4. Esempio sulla Corda

Descrizione: con raggio R = 5 e angolo alla circonferenza γ = 30°.
Calcolo:
  1. AB = 2 · 5 · sin 30°
  2. AB = 10 · ½
  3. AB = 5

5. Riepilogo

Descrizione: le due formule a confronto, accomunate dalla presenza del seno.
Le due formule:
  • Area del triangolo: A = ½ · a · b · sin γ
  • Teorema della corda: AB = 2R · sin γ

In Sintesi

Due strumenti trigonometrici fondamentali:

  1. Area: A = ½ a b sin γ, da due lati e l'angolo compreso
  2. Altezza: h = a sin γ è il ponte fra geometria e trigonometria
  3. Corda: AB = 2R sin γ, indipendente dal punto sull'arco
  4. Filo conduttore: in entrambe compare il seno di un angolo

Da qui si arriva ai grandi teoremi della trigonometria: il teorema dei seni e il teorema del coseno, per risolvere qualsiasi triangolo.

← Torna alla sezione Matematica